जटिल संख्या बनाम वास्तविक संख्या
असली संख्याएँ और सम्मिश्र संख्याएँ दो शब्दावली हैं जिनका उपयोग अक्सर संख्या सिद्धांत में किया जाता है। संख्या विकसित करने के लंबे इतिहास से, यह कहना होगा कि ये दोनों एक बड़ी भूमिका निभाते हैं। जैसा कि यह सुझाव देता है, 'वास्तविक संख्या' का अर्थ उन संख्याओं से है जो 'वास्तविक' हैं। इस बीच, नाम के रूप में 'कॉम्प्लेक्स नंबर' एक विषम मिश्रण को दर्शाता है।
इतिहास से, हमारे पूर्वजों ने पशुओं को गिनने के लिए संख्याओं का इस्तेमाल किया ताकि उन्हें नियंत्रण में रखा जा सके। वे संख्याएँ 'प्राकृतिक' थीं क्योंकि वे सभी सरलता से गणनीय हैं। तब विशेष '0' और 'नकारात्मक' संख्याएँ मिलीं। बाद में, 'दशमलव संख्याएं' (2.3, 3.15) और 5⁄3 ('परिमेय संख्या') जैसी संख्याओं का भी आविष्कार किया गया था। उपरोक्त दो अलग-अलग प्रकार के दशमलवों के बीच मुख्य अंतर यह है कि एक निश्चित मान (2.3 परिमित दशमलव) के साथ समाप्त होता है जबकि दूसरा अनुक्रम के अनुसार दोहराता है, जो कि उपरोक्त मामले में 1.666… इसके बाद एक दिलचस्प घटना सामने आई, वह निश्चित रूप से 'अप्रासंगिक संख्या'। 3 जैसी संख्याएं ऐसी 'अपरिमेय संख्या' के उदाहरण हैं। अंततः बुद्धिजीवियों को संख्याओं का एक और समूह मिला जिसे प्रतीकों में भी दर्शाया गया है। इसके लिए एक आदर्श उदाहरण π का सबसे परिचित चेहरा है, और मान 3.1415926535…, एक 'अनुवांशिक संख्या' द्वारा दर्शाया गया है।
उपरोक्त सभी श्रेणियों की संख्याएँ 'वास्तविक संख्याएँ' के नाम से आती हैं। दूसरे शब्दों में, वास्तविक संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिन्हें एक अनंत रेखा या वास्तविक रेखा में दर्शाया जा सकता है जहाँ सभी संख्याओं को बिंदुओं द्वारा दर्शाया जाता है। पूर्णांक समान दूरी पर हैं। यहां तक कि ट्रान्सेंडैंटल नंबर भी दशमलव की संख्या में वृद्धि करके सटीक रूप से इंगित किए जाते हैं।दशमलव का अंतिम अंक यह तय करता है कि वह संख्या किस अंतराल के दसवें हिस्से से संबंधित है।
अब अगर हम तालिकाओं को पलटें और 'कॉम्प्लेक्स नंबर' की अंतर्दृष्टि देखें, जिसे आसानी से 'रियल नंबर' और 'काल्पनिक नंबर' के संयोजन के रूप में पहचाना जा सकता है। कॉम्प्लेक्स एक आयामी के विचार को दो आयामी 'कॉम्प्लेक्स प्लेन' में विस्तारित करता है जिसमें क्षैतिज तल पर 'वास्तविक संख्या' और लंबवत तल पर 'काल्पनिक संख्या' शामिल है। यहाँ यदि आपके पास 'काल्पनिक संख्या' की झलक नहीं है, तो बस कल्पना करें√(-1) और क्या अनुमान है कि समाधान क्या होगा? अंततः प्रसिद्ध इतालवी गणितज्ञ ने इसे खोजा और इसे 'ὶ' नाम दिया।
इसलिए विस्तृत दृष्टि से, 'कॉम्प्लेक्स नंबर' में 'रियल नंबर' के साथ-साथ 'काल्पनिक नंबर' भी शामिल हैं, जबकि 'रियल नंबर' वे सभी हैं जो अनंत रेखा में स्थित हैं। यह इस विचार को देता है कि 'कॉम्प्लेक्स' बाहर खड़ा है और 'रियल' की तुलना में संख्याओं का एक बड़ा समूह रखता है। अंततः सभी 'वास्तविक संख्याएँ' 'काल्पनिक संख्याएँ' शून्य होने से 'जटिल संख्याओं' से प्राप्त की जा सकती हैं।
उदाहरण:
1. 5+ 9ὶ: जटिल संख्या
2. 7: वास्तविक संख्या, हालांकि 7 को 7+ 0ὶ के रूप में भी दर्शाया जा सकता है।
