स्थिर बिंदु और संतुलन बिंदु के बीच मुख्य अंतर यह है कि निश्चित बिंदु एक प्रणाली की स्थिर-स्थिति को खोजने के लिए उपयोगी है, जबकि संतुलन बिंदु वह स्थिति है जिस पर सिस्टम परिवर्तन नहीं होता है क्योंकि सिस्टम चर बदल जाते हैं।
निश्चित बिंदु और संतुलन बिंदु वांछित भौतिक प्रणाली की स्थिर स्थिति की पहचान करने के लिए गणित में उपयोगी शब्द हैं।
फिक्स प्वाइंट क्या है?
गणित में किसी फ़ंक्शन का निश्चित बिंदु उस फ़ंक्शन के डोमेन का एक तत्व है जिसे फ़ंक्शन के माध्यम से स्वयं के लिए मैप किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, "सी" फ़ंक्शन "एफ" का एक निश्चित बिंदु है जब एफ (सी)=सी।इसे फिक्सपॉइंट या अपरिवर्तनीय बिंदु के रूप में भी जाना जाता है। इसलिए, f(f(…f(c)…))=f(c)=c जो रिकर्सिवली कंप्यूटिंग "f" के संबंध में एक महत्वपूर्ण समाप्ति चिंता है। निश्चित बिंदुओं के समुच्चय को हम नियत समुच्चय नाम दे सकते हैं।
इस घटना को समझने के लिए एक उदाहरण पर विचार करते हैं। यदि हम "f" को वास्तविक संख्याओं में f(x)=x2 - 3x +4 से लेते हैं, तो 2 "f" का एक निश्चित बिंदु है क्योंकि f(2)=2. हालांकि, सभी कार्यों में निश्चित बिंदु नहीं होते हैं। उदा. जब f(x)=x + 1, इसका कोई निश्चित बिंदु नहीं होता है क्योंकि किसी भी वास्तविक संख्या के लिए "x" कभी भी "x +1" के बराबर नहीं होता है। चित्रमय शब्दावली को ध्यान में रखते हुए, एक निश्चित बिंदु "x" उस बिंदु (x, f(x)) को संदर्भित करता है जो रेखा y=x पर है। दूसरे शब्दों में, "f" के ग्राफ में उस रेखा के साथ एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है।
स्थिर बिंदु आवधिक बिंदु होते हैं जिनकी अवधि एक के बराबर होती है। प्रक्षेप्य ज्यामिति को ध्यान में रखते हुए, प्रक्षेप्यता के निश्चित बिंदुओं को दोहरे बिंदु के रूप में नामित किया गया है। गैलोइस सिद्धांत के अनुसार, क्षेत्र ऑटोमोर्फिज्म के एक सेट के निश्चित बिंदुओं की श्रृंखला को ऑटोमोर्फिज्म के उस सेट के एक निश्चित क्षेत्र के रूप में नामित किया गया है।
अर्थशास्त्र, भौतिकी, प्रोग्रामिंग भाषा संकलक, प्रकार सिद्धांत, सभी वेब पृष्ठों के पेजरैंक मूल्यों पर वेक्टर, मार्कोव श्रृंखला का स्थिर वितरण, आदि सहित निश्चित बिंदुओं के विभिन्न अनुप्रयोग हैं।
इक्विलिब्रियम पॉइंट क्या है?
एक संतुलन बिंदु गणित में एक अलग समीकरण का एक निरंतर समाधान है। यह शब्द मुख्य रूप से गणित में अंतर समीकरणों के अंतर्गत आता है।हम संतुलन के बारे में समीकरणों के रैखिककरण के स्वदेशी मूल्यों के संकेतों को देखकर संतुलन को वर्गीकृत कर सकते हैं। दूसरे शब्दों में, हम वांछित प्रणाली के संतुलन बिंदुओं पर जैकोबियन मैट्रिक्स का मूल्यांकन करके संतुलन को वर्गीकृत कर सकते हैं, इसके बाद परिणामी प्रतिजन मान प्राप्त कर सकते हैं। वहां, हम eigenvalues के साथ जुड़े eigenvector(s) को ढूंढकर संतुलन बिंदुओं के पड़ोस में सिस्टम के व्यवहार को मात्रात्मक रूप से निर्धारित कर सकते हैं।
हम कह सकते हैं कि एक संतुलन बिंदु अतिपरवलयिक होता है जब किसी भी eigenvalues में शून्य वास्तविक भाग नहीं होता है। हालाँकि, यदि सभी eigenvalues का एक ऋणात्मक वास्तविक भाग है, तो संतुलन एक स्थिर समीकरण बन जाता है। इसी तरह, यदि कोई सकारात्मक वास्तविक भाग है, तो संतुलन अस्थिर हो जाता है। इसके अलावा, अगर कम से कम एक नकारात्मक वास्तविक हिस्सा है और कम से कम एक सकारात्मक वास्तविक हिस्सा eigenvalues में है, तो संतुलन एक काठी बिंदु प्राप्त करता है।
स्थिर बिंदु और संतुलन बिंदु के बीच समानताएं क्या हैं?
- ये बिंदु स्थिर नहीं हो सकते।
- दोनों बिंदुओं को एक सिस्टम की स्थिर-अवस्था की स्थिति के लिए वर्णित किया गया है।
फिक्स पॉइंट और इक्विलिब्रियम पॉइंट में क्या अंतर है?
गणित में नियत बिंदु और संतुलन बिंदु शब्दों का प्रयोग किया जाता है। स्थिर बिंदु और संतुलन बिंदु के बीच महत्वपूर्ण अंतर यह है कि निश्चित बिंदु एक प्रणाली की स्थिर-अवस्था को खोजने के लिए उपयोगी है, जबकि संतुलन बिंदु वह स्थिति है जिस पर सिस्टम परिवर्तन नहीं होता है क्योंकि सिस्टम चर बदल जाते हैं।
सारांश - निश्चित बिंदु बनाम संतुलन बिंदु
निश्चित बिंदु और संतुलन बिंदु वांछित भौतिक प्रणाली की स्थिर स्थिति की पहचान करने के लिए गणित में उपयोगी शब्द हैं। स्थिर बिंदु और संतुलन बिंदु के बीच महत्वपूर्ण अंतर यह है कि निश्चित बिंदु एक प्रणाली की स्थिर-अवस्था को खोजने के लिए उपयोगी है, जबकि संतुलन बिंदु वह स्थिति है जिस पर सिस्टम परिवर्तन नहीं होता है क्योंकि सिस्टम चर बदल जाते हैं।
