कार्तीय निर्देशांक बनाम ध्रुवीय निर्देशांक
ज्यामिति में, एक समन्वय प्रणाली एक संदर्भ प्रणाली है, जहां संख्याओं (या निर्देशांक) का उपयोग अंतरिक्ष में किसी बिंदु या अन्य ज्यामितीय तत्व की स्थिति को विशिष्ट रूप से निर्धारित करने के लिए किया जाता है। समन्वय प्रणाली ज्यामितीय समस्याओं को एक संख्यात्मक समस्या में परिवर्तित करने की अनुमति देती है, जो विश्लेषणात्मक ज्यामिति के लिए आधार प्रदान करती है।
कार्टेशियन समन्वय प्रणाली और ध्रुवीय समन्वय प्रणाली गणित में उपयोग की जाने वाली दो सामान्य समन्वय प्रणाली हैं।
कार्टेशियन निर्देशांक
कार्टेशियन निर्देशांक प्रणाली संदर्भ के रूप में वास्तविक संख्या रेखा का उपयोग करती है।एक आयाम में, संख्या रेखा ऋणात्मक अनंत से धनात्मक अनंत तक फैली हुई है। बिंदु 0 को प्रारंभ मानते हुए, प्रत्येक बिंदु की लंबाई को मापा जा सकता है। यह एक नंबर के साथ लाइन पर स्थिति की पहचान करने का एक अनूठा तरीका प्रदान करता है।
अवधारणा को दो और तीन आयामों में विस्तारित किया जा सकता है जहां एक दूसरे के लंबवत संख्या रेखाओं का उपयोग किया जाता है। वे सभी एक ही बिंदु 0 को प्रारंभ के रूप में साझा करते हैं। संख्या रेखाओं को अक्ष कहा जाता है, और अक्सर X अक्ष, Y अक्ष और Z अक्ष कहा जाता है। (0, 0, 0) से शुरू होने वाले प्रत्येक अक्ष के साथ एक बिंदु की दूरी, जिसे मूल के रूप में भी जाना जाता है, और एक टपल के रूप में दिया जाता है, बिंदु के निर्देशांक के रूप में जाना जाता है। इस स्थान में एक सामान्य बिंदु को निर्देशांक (x, y, z) द्वारा दर्शाया जा सकता है। एक समतल प्रणाली में जहां केवल दो अक्ष होते हैं, निर्देशांक (x, y) के रूप में दिए जाते हैं। कुल्हाड़ियों द्वारा बनाए गए एक विमान को कार्टेशियन विमान के रूप में जाना जाता है, और अक्सर कुल्हाड़ियों के अक्षरों द्वारा संदर्भित किया जाता है। उदा. XY विमान।
इस सामान्य बिंदु का उपयोग विभिन्न ज्यामितीय तत्वों का वर्णन करने के लिए सामान्य बिंदु को विशिष्ट तरीकों से व्यवहार करने के लिए बाध्य करके किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, समीकरण x^2+y^2=a^2 एक वृत्त का प्रतिनिधित्व करता है। त्रिज्या a के साथ एक वृत्त खींचने के बजाय ऊपर दिखाए गए अधिक अमूर्त तरीके से वृत्त को निरूपित करना संभव है।
ध्रुवीय निर्देशांक
ध्रुवीय निर्देशांक एक बिंदु को दर्शाने के लिए एक अंतर संदर्भ प्रणाली का उपयोग करते हैं। ध्रुवीय निर्देशांक प्रणाली x अक्ष की सकारात्मक दिशा से वामावर्त कोण का उपयोग करती है और निर्देशांक के रूप में सीधी रेखा की दूरी को बिंदु तक ले जाती है।
दो आयामी कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में ऊपर के रूप में ध्रुवीय निर्देशांक का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है।
ध्रुवीय और कार्तीय प्रणालियों के बीच परिवर्तन निम्नलिखित संबंधों द्वारा दिया गया है:
r=√(x2 + y2) ↔ x=r cosθ, y=r sinθ
θ=तन-1 (x/y)
कार्टेशियन और ध्रुवीय निर्देशांक में क्या अंतर है?
• कार्तीय निर्देशांक कुल्हाड़ियों के रूप में संख्या रेखाओं का उपयोग करते हैं, और इसका उपयोग एक, दो या तीन आयामों में किया जा सकता है। इसलिए इसमें रैखिक, तलीय और ठोस ज्यामिति का प्रतिनिधित्व करने की क्षमता है।
• ध्रुवीय निर्देशांक निर्देशांक के रूप में एक कोण और लंबाई का उपयोग करते हैं, और यह केवल रैखिक और तलीय ज्यामिति का प्रतिनिधित्व कर सकता है, हालांकि इसे ठोस ज्यामिति का प्रतिनिधित्व करने के लिए बेलनाकार निर्देशांक प्रणाली में विकसित किया जा सकता है।
• दोनों प्रणालियों का उपयोग काल्पनिक अक्ष को परिभाषित करके काल्पनिक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है, और जटिल बीजगणित में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। हालांकि, सादे रूप में, कार्तीय निर्देशांक वास्तविक संख्याएं हैं (x, y, z) ध्रुवीय प्रणाली में निर्देशांक हमेशा वास्तविक संख्या नहीं होते हैं; यानी यदि कोण डिग्री में दिया गया है, तो निर्देशांक वास्तविक नहीं हैं; यदि कोण रेडियन में दिया गया है तो निर्देशांक वास्तविक संख्याएं हैं।
